Algèbre linéaire Exemples

[\begin{matrix} a - b & b + c - 3 d + c & 2 a - 4 d \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a - b & b + c \\ - 3 d + c & 2 a - 4 d \end{array}]$

Étape 1

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 1.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{1}{a - b}

$\frac{1}{a - b}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

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Étape 1.1.1

Multiply each element of

R_{1}

$R_{1}$ by

\frac{1}{a - b}

$\frac{1}{a - b}$ to make the entry at

1, 1

$1, 1$ a

1

$1$ .

[\begin{matrix} \frac{a - b}{a - b} & \frac{b + c}{a - b} - 3 d + c & 2 a - 4 d \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{a - b}{a - b} & \frac{b + c}{a - b} \\ - 3 d + c & 2 a - 4 d \end{array}]$

Étape 1.1.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{matrix} 1 & \frac{b + c}{a - b} - 3 d + c & 2 a - 4 d \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{b + c}{a - b} \\ - 3 d + c & 2 a - 4 d \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & \frac{b + c}{a - b} - 3 d + c & 2 a - 4 d \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{b + c}{a - b} \\ - 3 d + c & 2 a - 4 d \end{array}]$

Étape 1.2

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - (- 3 d + c) R_{1}

$R_{2} = R_{2} - (- 3 d + c) R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

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Étape 1.2.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - (- 3 d + c) R_{1}

$R_{2} = R_{2} - (- 3 d + c) R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{b + c}{a - b} - 3 d + c - (- 3 d + c) \cdot 1 & 2 a - 4 d - (- 3 d + c) \frac{b + c}{a - b} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{b + c}{a - b} \\ - 3 d + c - (- 3 d + c) \cdot 1 & 2 a - 4 d - (- 3 d + c) \frac{b + c}{a - b} \end{array}]$

Étape 1.2.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{b + c}{a - b} 0 & - \frac{4 d a - 2 a^{2} + 2 a b - 7 d b - 3 d c + c b + c^{2}}{a - b} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{b + c}{a - b} \\ 0 & - \frac{4 d a - 2 a^{2} + 2 a b - 7 d b - 3 d c + c b + c^{2}}{a - b} \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{b + c}{a - b} 0 & - \frac{4 d a - 2 a^{2} + 2 a b - 7 d b - 3 d c + c b + c^{2}}{a - b} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{b + c}{a - b} \\ 0 & - \frac{4 d a - 2 a^{2} + 2 a b - 7 d b - 3 d c + c b + c^{2}}{a - b} \end{array}]$

Étape 1.3

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

- \frac{a - b}{4 d a - 2 a^{2} + 2 a b - 7 d b - 3 d c + c b + c^{2}}

$- \frac{a - b}{4 d a - 2 a^{2} + 2 a b - 7 d b - 3 d c + c b + c^{2}}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

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Étape 1.3.1

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

- \frac{a - b}{4 d a - 2 a^{2} + 2 a b - 7 d b - 3 d c + c b + c^{2}}

$- \frac{a - b}{4 d a - 2 a^{2} + 2 a b - 7 d b - 3 d c + c b + c^{2}}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{b + c}{a - b} - \frac{a - b}{4 d a - 2 a^{2} + 2 a b - 7 d b - 3 d c + c b + c^{2}} \cdot 0 & - \frac{a - b}{4 d a - 2 a^{2} + 2 a b - 7 d b - 3 d c + c b + c^{2}} (- \frac{4 d a - 2 a^{2} + 2 a b - 7 d b - 3 d c + c b + c^{2}}{a - b}) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{b + c}{a - b} \\ - \frac{a - b}{4 d a - 2 a^{2} + 2 a b - 7 d b - 3 d c + c b + c^{2}} \cdot 0 & - \frac{a - b}{4 d a - 2 a^{2} + 2 a b - 7 d b - 3 d c + c b + c^{2}} (- \frac{4 d a - 2 a^{2} + 2 a b - 7 d b - 3 d c + c b + c^{2}}{a - b}) \end{array}]$

Étape 1.3.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{matrix} 1 & \frac{b + c}{a - b} 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{b + c}{a - b} \\ 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & \frac{b + c}{a - b} 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{b + c}{a - b} \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.4

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} - \frac{b + c}{a - b} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{b + c}{a - b} R_{2}$ to make the entry at

1, 2

$1, 2$ a

0

$0$ .

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Étape 1.4.1

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} - \frac{b + c}{a - b} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{b + c}{a - b} R_{2}$ to make the entry at

1, 2

$1, 2$ a

0

$0$ .

[\begin{matrix} 1 - \frac{b + c}{a - b} \cdot 0 & \frac{b + c}{a - b} - \frac{b + c}{a - b} \cdot 1 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{b + c}{a - b} \cdot 0 & \frac{b + c}{a - b} - \frac{b + c}{a - b} \cdot 1 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.4.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 2

The pivot positions are the locations with the leading

$1$ in each row. The pivot columns are the columns that have a pivot position.

Pivot Positions:

$a_{11}$ and

$a_{22}$

Pivot Columns:

$1$ and

$2$

Étape 3

The rank is the number of pivot columns.

$2$